Hola de nuevo,
No es algo que dependa del soporte o no.
Si se comparten datos que no se deberían compartir de forma pública, es el riesgo al que uno se puede exponer.
Una vez dentro del Hangout ¿Has probado haciendo clic en la barra de direcciones y borrar la URL ahí mostrada?
Solo borrala y no presiones enter o similares.
De esta forma al compartir la pantalla no se mostrará la URL de la página del Hangout.
Un Saludo.