Probablemente estás copiando el código mientras se reproduce una lista de reproducción, así que el código no es de ese video, sino de la lista completa, que probablemente comienza por un video completamente diferente.
Cuando hagas clic en la opción "Compartir", debería haber una casilla que dice "Compartir con la lista de reproducción que empieza por", desmarcando esa casilla normalmente se solucionaría el problema, pero parece que actualmente solo tiene efecto con el enlace y no con el código de inserción.
Notificaré el problema al personal de YouTube, pero mientras tanto puedes intentar accediendo al video individualmente y no desde una lista de reproducción, o hacer clic derecho sobre el reproductor y seleccionar la opción "Copiar código de inserción".
