Supongo que tenías instalado realplayer o algún otro programa de terceros que añadía una pestaña para descargar los vídeos junto a estos, eso no es obra de YouTube.
Sin embargo hay unos pocos Partners que ofrecen la descarga de sus vídeos, y la opción aparece en la descripción del vídeo, por ejemplo los vídeos de whitehouse
http://www.youtube.com/watch?v=YMRcPLXEyVU ...aparte de esos limitados casos y de tus propios vídeos, YouTube prohíbe la descarga en sus términos de uso.