Perfecto, entonces sabemos seguro que no tiene que ver con el estado de tu cuenta con respecto a YouTube.
¿Puedes intentar hacer un borrado de todas las cookies y caché de Safari? @G antes te ha comentado a ver si tenías las cookies desactivadas para YouTube, porque sin permitir las cookies no puedes iniciar sesión a YouTube, pero es posible que tengas cookies malformadas que hagan que no puedas iniciar sesión a YouTube. Así pues, este paso (aunque no garantiza un 100% de efectividad al resolver el problema) es importante para descartar que este sea el origen del problema.
Puedes aprender cómo borrar las cookies y caché de Safari aquí (atención, al borrar la caché se cerrarán todas las sesiones de todos los sitios web):
Si esto no funciona, dínoslo y seguiremos viendo qué podría estar ocurriendo.
Saludos :-)