Suponiendo que es del tipo de "usuario a usuario", bastaría con un trato verbal.
Se lo pides por Mensaje Privado de Youtube y si te dice que sí, pues genial. Subes el vídeo y se supone que ese usuario no te denunciará nunca.
Si te refieres a empresas tipo VEVO o Partners de compañías discograficas o asi.......... puf... puedes probar a pedirle el permiso, pero dudo ni que te respondan.
Sin embargo no pierdas la confianza.
Yo por ejemplo, le pedí permiso a una compañía de distribución de videojuegos (GAMETAP) a través de mensaje privado.
Era para traducir/doblar un video que me interesaba muchísimo, y que lo subiría a mi canal, y no hubo problema, me dijeron que sí.
Pero en el caso de la música... puede ser más dificil que te den el permiso. Pero tu intentalo.
Suerte.