Si estás usando las funciones que YouTube dispone, es decir, no descargaste/copiaste el video, sino que simplemente lo estás reproduciendo directamente desde YouTube, no hay problema por ese lado.
Sin embargo, es posible que las leyes de tu país tengan en cuenta la reproducción o transmisión de contenidos audiovisuales en establecimientos públicos, y exista alguna sociedad de autores que recolecte derechos patrimoniales o algo por el estilo, deberías investigar esa cuestión.
