En la página de reproducción de YouTube no es posible hacer eso, siempre aparecerán videos relacionados o recomendaciones.
Los reproductores insertados tienen un parámetro que permite que no se muestren sugerencias al final de la reproducción, antes de copiar el código deberás desmarcar la casilla que corresponde (aparece marcada de forma predeterminada), o si prefieres añadir manualmente el parámetro al código, entonces es ?rel=0
