Es posible hacerlo con la API de YouTube, pero deberás conseguir a un programador que conozca los lenguajes disponibles. Sin embargo, permitir que otros usuarios suban contenidos a tu canal es una muy mala idea generalmente, serías el responsable de todo el contenido, así que podrías terminar con la cuenta suspendida por infracciones de las normas de la comunidad, pero especialmente, por razones de copyright... créeme que muchísimos usuarios no entienden eso y todo puede salir muy mal por culpa de ellos.
La API ofrece la posibilidad de que los usuarios suban contenidos a sus propias cuentas desde tu sitio web, esa sería una opción mucho más razonable. También está YouTube direct, que permite mostrar en tu sitio, vídeos enviados por usuarios (subidos a sus propias cuentas):
