Hola.
Chrome tiene capacidad para guardar los datos de inicio de sesión (tu usuario y contraseña) pero eso lo debes activar tú mismo en su configuración.
Estando eso activo debes recordar cerrar el navegador sin cerrar la sesión que está abierta para que al volver a abrirlo se cargue directamente, pero eso funcionará sólo con la cuenta que quedó abierta al cerrarlo. Si tienes más cuentas debes cerrar una para luego abrir la otra o agregarlas desde dentro de una de ellas, en la misma ventana para "cerrar sesión".
Muevo tu consulta al foro de Chrome pues es función del navegador y no de la cuenta Gmail.
Saludos.
