Selecciona la opcion "No cerrar sesion".
Y en el caso que el navegador te pregunte si queres que recuerde tu contraseña, pone que Si.
Aunque te recomiendo que sigas poniendo el usuario y contraseña. Después aparece gente en el foro de Ayuda de Gmail, diciendo que les robaron los datos, o que envían mails desde sus cuentas. Recordar el usuario y contraseña desde una PC laboral no es la mejor idea.