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Las extensiones de Chrome no pueden interpretar PHP debido a que PHP es un lenguaje que requiere un interpretador (PHP se instala mediante Apache o Nginx por ejemplo).
Lo que puedes hacer es hostear tu procesador en algún servidor y hacer una request mediante una API. Las extensiones se pueden comunicar via AJAX (Por ejemplo) a tu URL enviando los datos y capturando el resultado.
Aquí tienes un poco de información sobre cómo setear los permisos necesarios en tu app.
Espero que esto aclare tu duda :)
Un Saludo.
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