Hola, veras, en tú teléfono has de meter la cuenta de Google para poder instalar aplicaciones desde play store. No sé si lo sabes hacer, pero se mete desde "ajustes" "cuentas" "añadir cuenta"
Ahora no puedo ponerte capturas, pero es muy simple. Si lo has echo, solo has de abrir play store y instalarla.
Lo que no entiendo es, ¿puedes instalar otras aplicaciones o solo te falla con chrome?
Desde la versión web de play store en el pc, si se puede instalar cualquier aplicación en tu móvil, pero para eso has de tener la cuenta de Google en tú Android.
Te cuento los pasos, vas a la web, buscas la aplicación, le das a instalar y te pondrá los dispositivos Android que tienes asociados a la misma cuenta, le das al dispositivo que te interesa y por arte de magia lo tendrás instalado en tu móvil.
Repito que lo siento porqué no puedo ponerte capturas de pantalla, espero que te sirva mi explicación.
Y por favor, dime si has solucionado el problema y si no, concretame que es lo que te pasa exactamente y te ayudo personalmente. Un saludo.