Hola
JJPA, creo que se trata de un problema con las cookies o con la opción
No cerrar sesión que la dejas desmarcada cuando la inicias.
Por favor revisa que no tengas configurado en Chrome la opción Conservar datos locales solo hasta que salgas del navegador ya que de ser así las cookies se eliminarán cada vez que lo cierres provocando con eso que también se cierren las sesiones abiertas.
Si no es eso entonces asegúrate de que al iniciar sesión en Google mantienes seleccionada la opción No cerrar sesión que verás en el momento de introducir la contraseña.
Si nada de lo anterior funciona entonces haz un simple y completo borrado de las cookies del navegador:
