Hola
Gustavo, según leo en
Chromecast Black screen with just "Chromecast..." on the bottom red led (En inglés) la luz roja generalmente significa problemas de conectividad. Lo primero que deberías probar es a reiniciar el router.
Si eso no es suficiente restablece los valores de fábrica manteniendo pulsado el botón del Chromecast durante al menos 25 segundos o hasta que la luz fija empiece a parpadear. También puedes abrir la aplicación de Chromecast y restablecer los datos de fábrica a través de la opción correspondiente de la configuración o del menú.
Si lo restableces obviamente tendrás que configurarlo de nuevo.
Esta pregunta deberías haberla hecho en el foro de Chrome así que si los problemas continúan pásate por allí y nos cuentas los resultados que has obtenido.
Ya nos contarás, un saludo.